Aljabar
linear adalah bidang studi
matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan
solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan
operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
- Matriks dan Operasi – Operasinya
- Sistem Persamaan Linear
- Determinan matriks
- Vektor– Vektor
- Ruang – Ruang Vektor
- Ruang Hasil Kali Dalam
- Ruang Eigen
- Transformasi Linear
Definisi :
Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari
bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika
matriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut
berukuran ( berordo ) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar
A, B, C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks
dengan m baris dan n kolom ) adalah Amxn, Bmxn dan seterusnya.
Bentuk umum
Bentuk umum dari Amxn adalah :
aij
disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
Jenis – jenis matriks
Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan
sering digunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu :
a. Matriks Bujur sangkar
Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah
barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam
matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk
matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11, a22, …, ann.
b. Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks
yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan
bahwa elemen diagonal harus tak nol.
c. Matriks Nol
Mariks Nol merupakan matriks yang
semua elemennya bernilai nol.
d. Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks
bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai
nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen – elemen dibawah elemen diagonal maka
disebut matriks segitiga atas , sebaliknya disebut matriks segitiga bawah.
Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak
nol.
Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B
adalah matriks segitiga atas sedangkan matriks merupakan matriks segitiga bawah
dan juga matriks segitiga atas.
e. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks
diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1
f. Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi
Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk
eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat– syarat berikut :
- Untuk semua baris yang elemen – elemennya tak–nol , maka bilangan pertama pada baris tersebut haruslah = 1 ( disebut satu utama ).
- Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas.
- Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah matriks.
- Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya.
Matriks A , B dan C adalah matriks – matriks
dalam bentuk eselon baris tereduksi dan
notasi menyatakan satu utamanya. Contoh berikut
menyatakan matriks – matriks yang bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi.
Matriks D bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi
karena elemen d12 bernilai 1 sehingga tidak memenuhi syarat ke – 4 ( harusnya =
0 ), sedangkan matriks E tidak memenuhi karena baris kedua yang merupakan baris
nol letaknya mendahului baris ketiga yang merupakan baris tak nol, sehingga
syarat ketiga tidak terpenuhi.
Jika suatu matriks hanya memenuhi syarat 1–3 saja,
maka dikatakan matriks tersebut memiliki bentuk eselon baris.
Operasi – operasi matriks
a. Penjumlahan matriks
Operasi penjumlahan dapat dilakukan
pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama.
Aturan penjumlahan
Dengan menjumlahkan elemen – elemen yang bersesuaian
pada kedua matriks
b. Perkalian matriks dengan matriks
Operasi perkalian matriks dapat
dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B) jika jumlah kolom matriks A = jumlah
baris matriks B.
Aturan perkalian
Misalkan Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen
– elemen dari C( cij) merupakan penjumlahan dari perkalian elemen–elemen A
baris i dengan elemen – elemen B kolom j
c. Perkalian matriks dengan skalar
Suatu matriks dapat dikalikan suatu
skalar k dengan aturan tiap –tiap elemen pada A dikalikan dengan k.
d. Transpose matriks
Transpose matriks A (
dinotasikan At ) didefinisikan sebagai matriks yang baris – barisnya merupakan
kolom dari A.
Sifat –
sifat dari operasi matriks
Matriks Invers
Definisi
Jika A, B matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA
= I ( I matriks identitas ), maka dikatakan bahwa A dapat dibalik dan B adalah
matriks invers dari A ( notasi )
Latihan :
1. Tentukan jenis dari matriks – matriks dibawah ini
(jika memenuhi lebih dari satu, tuliskan semua) !
2. Diketahui
a. Hitung B + C !
b. Hitung AB dan AC , kemudian tentukan AB + AC
c. Dari perhitungan B + C sebelumya, hitung A ( B + C
) kemudian bandingkan hasilnya dengan jawaban dari b !
4. Tunjukkan
apakah matriks B merupakan invers A !
Untuk point 2 s/d 8 Penjelasan berlanjut !!!!
Sumber :