Aljabar linear

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.

1. Matriks dan Operasi – Operasinya
2. Sistem Persamaan Linear  
3. Determinan matriks  
4. Vektor– Vektor 
5. Ruang – Ruang Vektor 
6. Ruang Hasil Kali Dalam 
7. Ruang Eigen 
8. Transformasi Linear   

1.  Matriks dan Operasi – Operasinya

Definisi :

Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo ) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks dengan m baris dan n kolom ) adalah Amxn, Bmxn dan seterusnya. 

Bentuk umum

Bentuk umum dari Amxn adalah :

aij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.

Jenis – jenis matriks

Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu : 

a.  Matriks Bujur sangkar

    Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11, a22, …, ann.

 

b. Matriks Diagonal 

    Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.

 

c. Matriks Nol 

    Mariks Nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol.

d. Matriks Segitiga

    Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen – elemen dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas , sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol.

Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas sedangkan matriks merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga atas.

e. Matriks Identitas

    Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1

f. Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi

   Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat– syarat berikut :

1. Untuk semua baris yang elemen – elemennya tak–nol , maka bilangan pertama pada baris tersebut haruslah = 1 ( disebut satu utama ).
2. Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas.
3. Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah matriks.
4. Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya.

Matriks A , B dan C adalah matriks – matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi dan 

notasi  menyatakan satu utamanya. Contoh berikut menyatakan matriks – matriks yang bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi.

Matriks D bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi karena elemen d12 bernilai 1 sehingga tidak memenuhi syarat ke – 4 ( harusnya = 0 ), sedangkan matriks E tidak memenuhi karena baris kedua yang merupakan baris nol letaknya mendahului baris ketiga yang merupakan baris tak nol, sehingga syarat ketiga tidak terpenuhi. 

Jika suatu matriks hanya memenuhi syarat 1–3 saja, maka dikatakan matriks tersebut memiliki bentuk eselon baris. 

Operasi – operasi matriks

a. Penjumlahan matriks

    Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama.

Aturan penjumlahan

Dengan menjumlahkan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua matriks

 

b. Perkalian matriks dengan matriks

    Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B) jika jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B.

Aturan perkalian

Misalkan Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen – elemen dari C( cij) merupakan penjumlahan dari perkalian elemen–elemen A baris i dengan elemen – elemen B kolom j

 

 

c. Perkalian matriks dengan skalar

    Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap –tiap elemen pada A dikalikan dengan k.

   

 

d. Transpose matriks

     Transpose matriks A ( dinotasikan At ) didefinisikan sebagai matriks yang baris – barisnya merupakan kolom dari A.

Sifat – sifat dari operasi matriks 

 

Matriks Invers

Definisi

Jika A, B matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA = I ( I matriks identitas ), maka dikatakan bahwa A dapat dibalik dan B adalah matriks invers dari A ( notasi

)

 

Latihan : 

1. Tentukan jenis dari matriks – matriks dibawah ini (jika memenuhi lebih dari satu, tuliskan semua) !

 

2. Diketahui

a. Hitung B + C !

b. Hitung AB dan AC , kemudian tentukan AB + AC

c. Dari perhitungan B + C sebelumya, hitung A ( B + C ) kemudian bandingkan hasilnya dengan jawaban dari b !

3. Dari soal nomor 2, tentukan

4. Tunjukkan apakah matriks B merupakan invers A !

Untuk point 2 s/d 8 Penjelasan berlanjut !!!! 

Sumber :